Função Seno

Função Seno


A função f(x) = a + b.sen(cx + d), tem por base a função seno mais simples definida por f(x) = sen x. A cada um dos parâmetros a, b, c e d, acrescentados à função f(x) = sen x, teremos modificações no gráfico desta função, modificações estas que veremos a seguir.Os gráficos das funções seno e co-seno se repetem em intervalos constantes. Por este motivo são chamadas de funções periódicas.


Dado um ângulo de medida x, a função seno é a relação que associa a cada x em R, o seno do ângulo x, denotado pelo número real sen(x). A função é denotada por f(x)=sen(x) ou y=sen(x).



Propriedades da função seno




1.Domínio: A função seno está definida para todos os valores reais, sendo assim Dom(sen)=R.



2.Imagem: O conjunto imagem da função seno é o intervalo I={y em R: -1



3.Periodicidade: A função é periódica de período 2. Para todo x em R e para todo k em Z:



sen(x) = sen(x+2) = sen(x+4) =...= sen(x+2k)



Justificativa: Pela fórmula do seno da soma de dois arcos,



sen(x+2k) = sen(x)cos(2k ) + cos(x)sen(2k )



para k em Z, cos(2k )=1 e sen(2k )=0



sen(x+2k) = sen(x)(1)+cos(x)(0) = sen(x)



O conceito de Limite de uma função realiza um papel muito importante em toda teoria matemática envolvida com o Cálculo Diferencial e Integral. Há uma cadeia ordenada muito bem estabelecida no Cálculo:
Conjuntos, Funções, Limites, Continuidade, Derivadas e Integrais
Para entender os conceitos mais importantes da lista acima, que são os últimos, a Teoria de Limites é fundamental.
O motivo para isto é que nem tudo o que queremos realizar, ocorre no meio físico e quase sempre é necessário introduzir um modelo que procura algo que está fora das coisas comuns e esta procura ocorre com os limites nos estudos de sequências, séries, cálculos de raízes de funções, ...
Por exemplo, obter uma raiz de uma função polinomial de grau maior do que 4 somente é possível através de métodos numéricos que utilizam fortemente as idéias de limites e continuidade. Na verdade, este cálculo depende do Teorema do Valor Intermediário (apresentado no final) que é uma consequência do estudo de continuidade de funções.

Idéia Intuitiva de Limite
Estudaremos o comportamento de uma função f nas proximidades de um ponto. Para fixar idéias, consideremos a função f:R-{1}R definida por:
f(x)= x²-1 x-1
Para x diferente de 1, f pode ser simplificada e reescrita na forma mais simples:
f(x) = x + 1
Ao analisar o comportamento desta função nas vizinhanças do ponto x=1, ponto este que não pertence ao domínio de f, constatamos que esta função se aproxima rapidamente do valor L=2, quando os valores de x se aproximam de x=1, tanto por valores de x<1>1 (à direita de 1).

Consideremos uma semi-reta OA, tal que o comprimento do segmento OA seja unitário. Escolhemos também um referencial cartesiano tal que o semi-eixo x positivo coincida com a semi-reta OA e o semi-eixo y positivo seja obtido girando a semi-reta OA no sentido anti-horário, de 90o ou radianos. Dessa maneira, temos o modelo geométrico que é a circunferência trigonométrica.
Dado um número real x, associamos a ele o ponto P=P(x) no círculo unitário, de tal modo que o comprimento do arco AP é x unidades de medida de comprimento, ou seja, a medida do arco AP é x radianos. Também podemos dizer que o arco AP e, portanto, o ângulo central tem .
Definimos as funções seno, cosseno e tangente do número real x da seguinte maneira:
cos x: é a abscissa de Psen x: é a ordenada de P, se
Desse modo, dado um número x real, fica determinado, na circunferência trigonométrica, o ponto:
P=P(x)=(cos x, sen x).
Como conseqüência das definições de sen x, cos x e tg x, temos que:
· P(0) = A = (1,0) e, portanto, cos 0 = 1, sen 0 = 0, tg 0 = 0.· P = (0,1) e, portanto, cos = 0, sen =1, enquanto tg não existe, pois cos = 0.
Propriedades:
i) Dados P(x) = (cos x, sen x) e P(-x) = (cos(-x), sen(-x)), pode-se provar que
cos(-x)=cos x e sen(-x)=-sen(x). E a tg(x)?
Dessa maneira, concluímos que P(-x) é o ponto simétrico de P(x) em relação ao eixo horizontal.
Também notamos que cos é uma função par, e que sen é uma função ímpar
ii) Dados os pontos:
P(x)=(cos x, sen x) e , pode-se provar que e que . E a ?
Dessa maneira, temos que é o ponto simétrico de P(x) em relação à reta y = x, que é a bissetriz do primeiro e terceiro quadrantes.
Através dessas propriedades, dado um número real x qualquer, determinamos um arco e, portanto, um ângulo central correspondente, e sabemos determinar o seno e o cosseno desse número real, não importando em qual quadrante se encontre o ponto P(x). Essas relações são conhecidas como fórmulas de redução ao primeiro quadrante, pois nos permitem encontrar o seno e o cosseno de um número real qualquer, em termos daquele outro número real que determina um arco no primeiro quadrante.
Finalmente, utilizando a circunferência trigonométrica, é possível mostrar que, para todos a e b reais, valem as relações:
cos(a+b) = cos a.cos b-sen a.sen b
sen(a+b) = sen a.cos b+sen b.cos aque permitem calcular o seno e o cosseno da soma de dois arcos em termos do seno e cosseno desses arcos separadamente considerados.
Uma questão que se coloca é a seguinte: essas funções têm qual relação com aquelas de mesmo nome - que, para fazer uma distinção, nomeamos com inicial maiúscula - que foram definidas no triângulo retângulo?